北京邮电大学出版社_线性代数习题答案.docx
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1、线性代数习题及答案(北京邮电大学出版社戴斌祥主)编习题(A类)1 .求下列各排列的逆序数. 341782659 ;(2)987654321 ;(3)。!).321 ;(4) 13.(2/71)(2/7)(2/7 2).2.【解】(1) 7(341782659)=11; 7(987654321)=36;(3) 一)321)3+2 1 尸号;(4) 7(13.(2/71)(2/7)(2/72).2)=0+1+.+(/71)+(/71 )+(/72)+.+1+0=/X1)-2 .求出j , k使9级排列24j157k98为偶排列。解:由排列为9级排列,所以j.k只能为3、6.由2排首位,逆序为0,4
2、的逆序数为0 , 1的 逆序数为3,7的逆序数为0 , 9的为0 , 8的为1.由0+0+3+0+1=4 .为偶数,若j=3,k=6 ,则 j的逆序为1 , 5的逆序数为, k的为1,符合题意;若j=6,k=3,则j的逆序为0 , 5的逆序数 为1 , k的为4 ,不符合题意.所以 j=3、k=6.3 .写出4阶行列式中含有因子a22a34的项。解:=(-1)%1%2旬3旬4由题意有:j2=2, j3=4.1243故 jJihk = J 24=132回Da 中含的 a22a34 项为:22a34a43 +(%13a22a34a艮卩为:一a“a22a34a43+43a22。34a4i4,在6阶行
3、列式中,下列各项应带什么符号?(1 ) a23a31442。56al4a65 ;解:。23。31。42。56。14。65 =。14。23。31。42。56。65因为 ?(431265) =6 , (-1尸431265)=(_ 1)6=1所以该项带正号。(2 )。32043|45166。25解:旳2a4344a51a66% =壁%。32a43a5M.因为 7(452316) = 8 , (-l)r(452316)=(-l)8 = l所以该项带正号。5 .用定义计算下列各行列式.0 2 0 010 0 100;(2)3 0 0 030 0 0 400I0 - 02 3 0002 - 00 2 0.
4、(3)0 4 5000 .n 0 0 11100 0【解】(1)6( 1)X2314)41=24;(2)812.(3)由题意知:=Tn.i =其余他=0所以D, = (T)”脑川勺2%3anjnnl=(-1)4q2a23aM. an-,na.r(23-nl) = n-l= (-l)n-1-l-23(n-l)-n6 .计算下列各行列式.2 14-13-12-12 3-20 6-2ab -ac -ae bd cd -de -bf -cf -efa -1 00 h -1 0(3);0 1 c -10 0 1d5 0 6【解】01 2 35 0 6-22 3 43 4 14 1 21 2 31(2)
5、D = ahcdef -1-1-1 -11 -1 = -Aabcdef ;-1 -1b(3)0 = a 10d 0 1-1 +(-l)2 0 c-1 1 +-1+ cd +1 dabed + a/? + id + cd +1;102341023410234。+210341011-32011-3勺+10412丐F02-2-2G+00-44+Q101230-1-1-1000-4= 160.(4)D7 .证明下列各式.aab b(1) 2a a+b 2b =(a-bf ;1i1a(fl +1)-(fl + 2)(a + 3)b2S + l,(b + 22)(b + 3)2c2(c + 1)2(c +
6、 22)(c + 3)2d2(J + l)2(J + 22)(d + 3)2(3) 1 b b3 = (ah + be + ca) 1 b b10 =(ad-bc)n ;1n/=! ai 71+【证明】(1)(a + b)(a b) b(a-b) b2左如=2(a - b)a-b2b001=(a -b)2=(a-b)3 =右端(+。)(8)b(a-b)2(。一 b) a-b左端為 。3。Cd26a+ 9a266 + 9口626c+ 9Q一女2c26d+9d12a +1 4a + 426 + 1 46 + 42c+ 1 4c+ 42d + l 4d + 42a +1 226 + 1 22c +1
7、 22d + l 2f(x) =a2b2c2X3 a3 b3 c3=(xa)(x-b)(x - c)(q b)(a c)(h c)(3)首先考虑4阶范德蒙行列式:从上面的4阶范德蒙行列式知,多项式才的x的系数为(ab + be + ac)(a 一 b)(a c)(b c) = (ab + be + ac)但对(*)式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等,故1 a2 (-1),+, 1 b2 b31 c2 3(4)对。,按第一行展开,得-bd 00 c0 dc 0=ad %t)一 be- 025T)= (/-6c)D2(fl.1)据此递推下去,可得=(ad-bc)D2g广(ad - 6c
8、 鼠2)=(ad -6c)* D, = (ad -bc) (ad -be) =(ad -bc)nD2n = (ad -bcY.(5)对行列式的阶数/?用数学归纳法.当2时,可直接验算结论成立,假定对这样的n 1阶行列式结论成立,进而证明阶 数为时结论也成立.按,的最后一列,把为拆成两个阶行列式相加:1 + 01 - 11D =1 + a2 - 11+11 11q1 + 011 1011 + 2, ,1011 1 + %011 1a.但由归纳假设, 帛! !。二的2厂I i=l % 丿( 1 Dn = aa2 an- + anaa2 心I i=i ai )(、 ( I i+Z = i+z7 n
9、卬 i=i %丿i.丿廿8.计算下列阶行列式.x 1 11 x 1D. =11 Xa- y 0 - 0 0Oxy- 0 00 0 0- % yy 0 0 0 x1222222 2(2) Dn =2232222n210 00121 00(4) D =012 00000 21000 12【解】(1)各行都加到第一行,再从第一行提出x+(1),得Dn =% + (-1)将第一行乘(1)后分别加到其余各行,得)=x + (n-l)1x-1= (X + 7t-l)(X-l)n-1.x-1. =可F1111200020102002 00按第二行展开0 n-2200 =一2(一2)!.-2x y 00 0y
10、 0 0 0 00 x y 0 0x y 0 0=X: :+ y(-1 严0 x y 0 00 0 0 x y: :y 0 0 0 x0 0 0 x y=X x5T)+ y.(l)(+LyM-l)行列式按第一列展开后,得D,%”+(1严.2 1 0 0 02 0 0 0 00 1 01 2 1 0 01 2 1 0 01 2 10 1 2 0 00 1 2 0 00 1 2=+0 0 0 2 10 0 02 10 0 00 0 0 1 20 0 0 1 20 0 0(4) D,。 2 -2%0 00 00 02 11 2D,一D.1一-0“-2DDI=1(2-%) + + ( )= TD” -
11、 D = n - l, a = 1 + 2 = +1.9.计算阶行列式.【解】各列都加到第一列,再从第一列提出1 + 4,得将第一行乘(1)后加到其余各行,得1 a2 %(0102=1+。0 1i=l丿::*00 000 = 1 + Qj .i=110.计算阶行列式(其中4。0,1 = 1,2,).【解】行列式的各列提取因子“/( = 1,2,然后应用范德蒙行列式.=3出产n Lljinui 丿它们的余子式依次为8,7,2,11.已知4阶行列式中第3列元素依次为1 ,2,0,1 10 ,求行列式的值。a解:D=的 31Qia2a22 a32 %2-120114a24a34a44,M|3=8,
12、M23=7, M33 = 2, M43=10O = Z(T)h%M3=(-1 尸3M3 + (1 产%3M23 + (T 严 a33M33 + (-1产3M43=(一 1)4 (一 1)8 + (-1)5 2 7 + (-1)6 2 + (1)7 1 10=8 14 10 = 32.12.用克拉默法则解方程组.4M + 5 =0, (1)J 13%- 7=2.玉一Z + x3 = 2, (2 ) 玉 + 2x2= 1,/1 一七=4.王+3 = 5,x2 + 2 尤3 + 3x4 = 3.5 尤1+ 6x2= 1,X1 + 5x2 + 6x3= 0,x2 + 5x3 + 6 =0, x3 +
13、5x4 + 6x5 = 0,x4 +5x5 = 1.【解】(1 )因为为 + 5x2 = 03玉-7x2 = 2D=-7所以玉D _ 10 D43,x2%1 - x2 + x3 = 2(2)因为,苞 + 2x2【x3 = 4D=m+1(5 = 212.15072293779212X.=,=,X-, = , X =,九s =-I 665133 3 35 4133 5 6652X1 + A,x2 x3 = 1,13.满足什么条件时,线性方程组 一+七=2,有唯一解?4 +5x2 -5x3 = 32 2解:。=-14 5-112 /I-542-15= (2-1) 45 =52 + 4)要使方程组有唯
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- 北京邮电 大学出版社 线性代数 习题 答案
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