北京邮电大学出版社_线性代数习题答案习题1-6.pdf
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1、线性代数习题及答案(北京邮电大学出版社戴斌祥主)编习题一(峻)1.求下列各排列的逆序数.(1)34 17 82 6 5?Q)987 6 5 4 32 1;6 n g 1)32 1;13-Qn 1)Q 力 Qn 2.【解】(1)r 04 17 82 6 5 9=11;0 r(987 6 5 4 32 1)=6(3)r S S 1)3 2-1)=0+1+2 H F S 1)_ _ J2 ;2 r(13 Qn 1)Q 力 Qn =O H+-+(n 1)+S l)+(n 2)+14 0=n(z?1).2 .求 出 j,k 使 9级 排 列 2 4 j l 5 7 k 98为偶排列。解:由排列为9级排列
2、,所 以 j,k 只 能 为 36.由 2 排首位,逆 序 为 Q 4 的逆序数为Q 1的逆序数为3,7 的逆序数为0,9的 为 0,8的 为 1.由(W 田)+1=4 为 偶 数.若 则 j的逆序为L 5 的逆序数为0,k 的 为 1,符合题意;若 j=6,则 j 的逆序为0,5 的逆序数为 1,k 的 为4,不符合题意.所以 j=3.k=6.3.写 出 4 阶行列式中含有因子%2%4的项。解:牛 一1严3”,%心2 3 4/4由题意有:h =2,3=4.故/小 右 2 二卜12村43B含的 a 2 2 a 34 项为:34 a 4 3+(T严 3。2 2。34。4 1即为:一 34 a 4
3、 3+q 3a 2 2 a 34 a 4 14 .在 6 阶行列式中,下列各项应带什么符号?(1)a 2 3a 31a 4 2 a 5 6 a l 4 a 65;解:a 2 3 a 31。4 2 a 5 6。14。6 5 =。14。2 3a 31。4 2。56%因为 7(43 1265)=6,(-1)9 3 1 2 6 5)=(-1)6 =1所以该项带正号。(2)a 32 04 3 14 5 106 6 2 5译:。32 4 4 3a l 4 a 5 1 6 6 a 2 5 =2 5 a 32 a 4 3a 5 106 6因为 7(4523 16)=8,(_ 1尸4 5 2 316)=(_ 琰
4、=1所以该项带正号。5.用定义计算下列各行列式.0 2 0 0 1 :0 0 1 0 0 I(1);03 0 0 0 3(0 0 0 4 0 I【解】(1)氏(l)r CJ144=24;0 3=1 22=1。2 3=2(3)由题意知:=n-1其 余%=0D”=(-1严 伉 八)旬3 a小=(-1严3 4.%/必 一%人=(-1)-1-1-2-3(n-l)n r(23 1)=一1=(-l)n-1-n!6计算下列各行列式.23-1204236-1-1-2-2ah.bd5【解】(1)50 6-1 22 30 60D=abcdef1-1-1-1-1-1=Aahcdef;(3)D=ab10-10-1+(
5、-D2100-1c10-1=a bc11 -10 d+cd+l=abed+a。+ad+cd+1;q+c?(4)。=q+qO+J10101010234134124123r2-rl13-n 一“10000212-131-2-14-3-2-1r3-2r2r4+r210000210031-404-34-4=160.7.证明下列各式.(1)a22a1aha+b1b22b1=(b)3 ;a2b2c2d2(a+1产(a +2)23 +1)2 (b +2)2(c+l)2(c+2)2(d+l)2(2)2(a+3)2(3)2(c+3)2(3)21 a2&1 b2a3 1 ab3=(ab+be+ca)1 b.31a
6、2b22a0 0b0%=。00 =(ad he);0 0 d1+a2111 11 +4【证明】(1)、C 一,(a+b)(a-b)3左 端=2(a-h)C 2 y 30b(a-b)a-h0b22h1(a+b)(a b)b(a-b)a-h=(a-h)2a+bb=(a-/?)3=右 端.2(a-h)2C 2-qa2b22 a+12 6 +14 a+44/7+46Q+96b+9q-2c2a2b22 a+12 8 +12266二0二右 端.0左 端=C3 fc22 c+14 c+46 c+9Cd8c22 c+l2 6C L。d22 J+14 J+46 d+9d22 J+12 6 首 先 考 虑 4阶范
7、德蒙行列式:31/(x)=;1a a2b h2x1/c3=(x _ Q)(X _ b)(x-c)(a-b)(a-c)(b-c)从上面的4阶范德蒙行列式知,多 项 式 的 对 勺 系 数 为1 a a2(ah+bc+ac)(a b)(a-c)(b c)=(ab+bc+ac)1 b b21 c c2但 对(*)式右端行列式按第一行展开知前勺系数为两者应相等,故1 a2 a3(-1)+,b2 b3,1 c2 c3 对 按 第 一 行 展 开,得ab 00 ahDi=aa b-b c d0d 00 d0 cc 00=ad-%,I)一3 =(ad-加)%竹,据此递推下去,可得。2“=(ad-bc)D2
8、g)=(ad-be,D2(n 2)=(ad he)D2=(ad-be)(a d be)=(a d be)D=(ad be).0对行列式的阶数用数学归纳法.当 斤2时,可直接验算结论成立,假定对这样的n 1阶行列式结论成立,进而证明阶数为时结论也成立.按功勺最后一列,把切示成两个阶行列式相加:+ax1 11D“=1+a2 11+11 11=W-an_,+anDn_v1 +%1 1011 +4,1011 -I011 1a.但由归纳假设/7J-1 、2 T=的2 心I -=1 ai J从而有/、D”=。避2 an-+anaa2 -1I i=l ai J 、!f 、)j=i ai 7 I /=i ai
9、 7 i=&计算下列阶行列式.X 1 1Q)1 1 XXy0X(3)2=00y00 00y.000 Xy0 0XD=222 2222 2223 2222 n210 00121.o00120000021000i2D,得【解】(1)各行都加到第一行,再从第一行提出升S1 11 XDn=x+(7J-l).1 111X将第一行乘(1)后分别加到其余各行,得1 1 .1 X-1 D=x+(n-l).0 0 10.=(x+-l)(x 1)”.x-11r2-n 1D“=”4 1:12 2 20 0 00 1 00 0 20 0 0n-2按第二行展开-02 2 21 0 00 2 0 2(/?2)!.0 0
10、n-26)行列式按第一列展开后,得x y 0Ox y0 00 0yX+y(l 严 00 0 0y 0 0 x y:0 x 00yX000yo000000 x y=x,+(-l)n+1/.即有D.210 00121 00012 00000 -21000 12=2。“Dn-2000122 0 0 0 00 1 0 01 2 1 0 01 2 1 00 1 2 0 00 1 2 0+0 0 0 2 10 0 0 20 0 0 1 20 0 0 1Dn -Dn-=D-D-2=D2 D、=1由 (&一。1)+(,1 一,一 2)+一+(3-3)=1 得D“一=H 1,),二 一 1 +2=+1 .9.计
11、算阶行列式.D.1 +q%l+a,【解】各列都加到第一列,再 从 第 一 列 提 出,得i=l将第一行乘(1)后加到其余各行,得0 0 0 110.计算阶行列式(其中 H0,i=l,2,3,)片名a24-试一也.anD,.=叫 2喇)砧 一您十b;-1婷 丁【解】行列式的各列提取因子a;T(j =L 2 、),然后应用范德蒙行列式.2=(%4J i1匕管 一11 ji D D4.工2 -万 一2,“3 -万-2,(4)0 =6 6 5,2=150 7,2=-1145,3=70 3,D4=-39 5,D5=212.150 7229 3779 212V -V*-V _ _ _ _ _ _ V*-V
12、-1 -6 6 5 5 2-133,3一 方 4 一 苒,5-6 6 52X 1+AX2 X3=1,13.几满足什么条件时,线性方程组 /I玉-彳2+/=2,有唯一解?4,X +5-5工3 =32解:4A-15-11-5(5/1+4)。04解得:A,-4当4不 等 于L-时,方程组有唯一解。14 A和为何值时,齐次方程组A x+x2+x3=0,4中含X 4项为:+10/含 丁项为:(一1严”4 4 2a 21a 33a*+(-1)3%4a 22a 33a 4 i =一5/。134已 知4阶行列式1235134624472,试求AI+A+AB+AU,其中 4/(7=1,2,3,4)为行列式玲勺第
13、4行第/列的元素的代数余子式。13解:因 为 小 1235134624472所以 A41+A42+A43+A13112351346144 c(/+l(-I)7 i=23411311104021503160=(-1)4+,1 20 14 5316r4+l(T)=(-I/1()021-33I-6(1)5(7 严 1-J1-6=一(一6 一(3)=3.5.解方程11111xaa:an4:=0.4ai1 at解:因&:1 a,-x aa2a240q 1a2-l-a“T0“尸_出C “T -11,%(n+l)x(n+l)X,%:1 1 .1 a1 -1 a;.-1 a“-1a,2-1 a?-1 a,2-
14、1K(-1)T%1 J ::故 由 田0可得:6.求出使一平面上三个点(,y,),(x2,y2),(刍,力)位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为1-勿 斗o 3。不同时为0按题设有axx+by+c =0,2 1=0七为 1上式即为三点(%,y J,(,为),(刍,为)位于同一直线上的充分必要条件习题二(旗)1.1 2设 用 2 11 221 r 43 2 11-2 1-1 0 -11231,岳24 0七12J 1 0 -12 1 1 F-l 3 1 5-2 1 J 8 2 8 20 -1J _ 3 7 9 1322A B=4213 85-21 6755(2)因则隼4%即12
15、3(3 因 为(2A-y+2(=0,2 3 11 -1-4 0 3 5所 以 3 f:242万即4 3 2 1 1(-2 1-2 1 4 20-10-1 12211231 )24_25015 3 32 0 21 3 310T=o2310T432320224322计算下列矩阵的乘积.10 3 10 12-10 0-230 0 0 -3-1 2 1 0 0 1 0 10 0 2 10 0 0 3 _【解】3 2 -1 0-3-2100 6 4-209 6-305(2)-3-1(1。;3 3+a2 2x +33;+(。12+21)玉12+(。13+31)2工3+(23+。32)%213 江心i=l
16、j=la%_。3112 5 20 12-40 0-430 0 0 -93.设/=a2 a2 a322。22+。2342的2+。3311r一1 2 1-11 1,B=13-11-1121 4求(1)/4 5-2/4 ;AB-BA;(Z +5)(4-6)=Z?一?吗?(3)由于 故 C4 C 4 BA2 4 24 4 0【解】(1)AB-2A=4 0 0;0 AB-BA=5-3-10 2 4-3 1 -1左4.举例说明下列命题是错误的.若)2=0,则 4=0;若则/=。或4=1;6)若/x =/y,/工。,则 x =y.【解】0(1)以三阶矩阵为例,取/=000 10 0,/=0,但a00 0(3
17、)令/=令/=解:0则 够 婚 但田Y5.计 算:0=0(1)(力 正 整 数),则当上=2时,cos。令年-sin。(2)sin。cos。cos JD=-sin。sin。cos。cos。-sin。sin。cos。cos 2。2 sin。cos。-2 sin cos cos 2。0cos 20 sin 20-sin2 cos26设?cos mO-sin,。sin mOcosmO成立,则cosmff二.八-sin?6sin mO cos 6 sin。cos m0-sin。cos。cos m0 cos 0-sin mO sin 6 sin 8 cos mO+cos 0 sin mO-sin m f
18、fcos 0-cos mO sin 0 cos m0 cos 6-sin rnsin 0cos(m+1)6 sin(m+1)6-sin(m+1)。cos(加 +1)6故有:cos。-sin,sin。cos。I P cos ASJ 1一 sin k6sinkcoskO6)令?i T(为正整数),则A.1当仁=2时,有:D=ol T11 21221假 设*.A成立,则17Xi=:.mA,0 T1 01 A 11 0(m+l)A 1故有oT r i oi-u 1120101abb6.设 Z=-adcd,求,I caha解:由已知条件,A的伴随矩阵为ahbA*=-(a2+b2+c2+d2)a-c-d-
19、(a2+b2+c2+d2)Aaba又因为Z =所以有(a2+b2+c2+d2)A2=AE,且|小 0,即|-(a2+b2+c2+J2)J2|=(a2+b2+c2+J2)41/4|/1|=|y 4|4|f|于是有|=-7(a2+b2+c2+J2)4=-(a2+b2+c2+d2)2.7.已知线性变换斗=2必+%,x2-2 yt+3y2+2y3,.与=4%+%+5%;7=-3Z+Z2,y2=2zt+z3,y3=-z2+3z3,利用矩阵乘法求从0,Z2,z3到 须,毛的线性变换.【解】已知从而由4,Z2,Z3到玉,七的线性变换为x,=-4z,+2Z2+Z3,x2=12Z-4Z2+9Z3,x3=-10Z
20、|-z2+16Z3.&设 N,5 为阶方阵,且 Z 为对称阵,证明:5 箕6 也是对称阵.【证明】因 为“阶方阵Z为对称阵,即 幺 斗所以(S AB,4 A年S段故也为对称阵.9.设左 劭阶对称方阵,证明:皿 对 称 阵 的 充分必要条件是 曲 曲【证明】已知 月 空 E N 若 圈是对称阵,即 W 三45则AB=(AB,A=BA,反之,因 超 型 则曲 4 A=BABi所以,皿 对 称阵.10.她 阶 对称矩阵,6 为 阶反对称矩阵,证明:(1)月 是对称矩阵.0 AB 碗 对 称 矩阵,曲碎反对称矩阵.【证 明】因Z必3 =月故(AB 泌,=B-(B=S;(M,斗 A A A (BAB B
21、A,=B-B=的=明+解A BBA-(B=04shs4.所 以 月是对称矩阵,AB 四 是对称矩阵,曲 例 是 反对称矩阵.1 10 11 1.求 与4可交换的全体二阶矩阵.【解】设 与 殉交换的方阵为,则由a+c b+dc da+bc+d得a1011bdabdabdac1 10 1由 对 应 元 素 相 等 得 日),/即 与/可 交 换 的 方 阵 为 一 切 形 如a0ba的 方 阵,其 中 w。为任意数.11 2.求 与4 0002-2可交换的全体三阶矩阵.011【解】由于000102-3而且由q b、ci0 0 o-0 0 o-a b C ja2 b2 c20 0 2=0 0 2a2
22、 b2 c2_ 3 4 C3.0 1 -3_0 1 -3_ 3 b3 C3.可得0 C 2bl-3q00 00 c22b2 -3c2=2a32b3 2c30 c32b3 -3c3a2-3a3b2-3b3 c2-3c3由此乂可得G=0,2b-3G=0,2%=0,生-3a3 =0,c2=2b3G=b2-3by2b2-3c2=2c3,2b3 3C3=C2 3C3,所以a2=a3=b=c=0,c2=2bAe3 =b2-3 4ax 0 0即与胸交换的一切方阵为0 b2 2b3其中q 也也为任意数0 by b2-3b313.求下列矩阵的逆矩阵.工2123(1)_200125001-100012-1-120
23、034-221305-4-1-一1214【解】1-2 1 一5-2(2)0 1 -2-2 1_0 0 1 _-1 00 0_ _1-126 0 2 20 00)-74-1;1 11 八6_ 0-32 14-2_ 2 631 51 1-.8 2412 41 4.利用逆矩阵,解线性方程组玉+工2+工3=1,OO。4、3+2(-4)二4+2(7)1 71 2 411 55 11 111 0 0 03 118 6 1dl+4(y)0 1 0 0-n Tio n n10 0 1 07 79 3 6r2+4()100 0 0 1 11 55 11 1138 19 6 10r3+4(-)11 11 11 1
24、117124Ti55nn_3_1186i所以,A=-T Tnonn7_ 79_3_n-5511-T T_ _ 8_19_6_10_ T TT TT T IT-i71T24i节-37118To-_ 796-31 6o-819-610-11 2 2 1 o o-叫)1 0-4004解:(3-4 0 1 0 1 0“1,2)3-11 2 21 0 06-1-1 0 0 16-1-1 0 0 11 0-0-01 0-0 0r2+l(H)4444r3+l(-6):0 2-1 030 1 1-U 0448 2 80-1-0-10-1-0-12222111 0 0 044通+2(1):30 1 1-U o8
25、 2 811 10 0-18 2 8r2+3(3)1 0 0 1 0 241+3(2)0 1 0 2-1 3八 八 11 10 0-18 2 8238Pi o o 1 0中(8)、0 1 0 2-10 0 14 1-11所 以-462 20 1-1-11 0 2=2-1 34 1 81-1 1 1 11 0 0 01110 0 1 0 0(4)1 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 11-1 1 1 11 0 0 0r 2 +l(-l)0 0 0 -1-1 1 0 0d 3+K-i)0 0-1-1-1 0 1 0r 4 +l(-l);0 -1-1-1-1 0 0 1心4)-01
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