北京邮电大学出版社_线性代数习题答案(习题1-6).pdf
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1、线性代数习题及答案(北京邮电大学出版社戴斌祥主)编习题一(A类)1.求下列各排列的逆序数.(1)3 41 782 659;(3)n(n 1).3 2 1;【解】(1)r(3 41 782 659)=1 1;(2)T(9876543 2 1)=3 6;(2)9876543 2 1;(4)1 3.(I n1)(2/?)(2/?2).2.(3)T(/?(/?1).3 2 ,1)=0+1+2 +.+(/?1)=_ _;2(4)T(1 3.(2 n 1)(2/2)(2/?2).2)=0+1+.+(n 1)+(/?1)+(2)+1+0=(力1).2.求 出 j,k 使 9 级排列2 4jl 57k98为偶
2、排列。解:由排列为9 级排列,所以j,k 只能为3、6.由 2 排首位,逆序为0,4 的逆序数为0,1 的逆序数为3,7 的逆序数为0,9 的为0,8 的 为 1.由 0+0+3+0+U 4,为偶数.若j=3,k=6,则 j的逆序为1,5 的逆序数为0,k 的 为 1,符合题意;若 j=6,k=3,则 j 的逆序为0,5 的逆序数为 1,k 的为4,不符合题意.所以 j=3、k=6.3 .写出4 阶行列式中含有因子a 2 2 a 3 4的项。解:=(-以 5%2%3。4”由题意有:j2=2,j3=4.124 3故,2 43 A=/2 4=6 2 4 中含的 的2。3 4 项为:(-2 2 a
3、3 4。4彳 +(一1)4。1 3 2 2%4 41NN ,1 1 ZZ 34 x 7 1J ZZ 34 41即 为:一&a 2 2 a 3 4a 4 3+2 2 a 3 4a 4 14.在 6 阶行列式中,下列各项应带什么符号?(1 )。2 3。3 1。42。56。1 4465;解:。2 3 03 1。42。56 1 4a 65=。1 4。2 3。3 1。42 a 56a 65因为 7(43 1 2 65)=6,(_ 1尸43 1 2 65)=(-1)6=1所以该项带正号。(2 )。3 2。43%4“51 a 66a 2 5解:。3 2。43 41 4。51。66。2 5=1 4。2 5。3
4、 2 043 051。66因为 7(452 3 1 6)=8,(-l)r(452 3 l 6)=(-1)8=1所以该项带正号。5.用定义计算下列各行列式.0 2 0 012 3 00 0 100 0 2 0(1);(2)3 0 0 03 0 4 50 0 0 40 0 0 1【解】P=(1)rmu,4!=2 4;(2)Z 1 2.0 1 0 00 0 2 00 0 0 n-0 0 0所以%2 =1%3 =2(3)由题意知:a,i,“=T其 余%=0=(1)77 aja2j2a3 j 3 anjn=(-l)r (t z +2 2(b +l)2 3+2?(c +1)2(c +2 2(d+l)2 (
5、J+2 2)(a +3/)S +3)(c +3)2)3+3产111a2 a3h2 Hc2 c3=(ab +b e+c a)111aha2h2c20 0 h0 a b 0(4)D,=(ad-bc)n;2n 0 c d 00 01 +6 11(5).1【证明】+a211(a+b)(a-b)左%i=2(a b)0b(a-b)a-b0b22b1(a+bXa-b)K a-b)=(a b)2a+b 叱(”丁=右端.2(a b)a-b 2 1a22a+14 a+4左端若全cc2&+14 8+4C 3 f2c+l4 c+4C4 fd224 +1 4 d+46。+9a22a+1 268+9C3-2C2b226+
6、1266c+9C二。4-2c22c+l266d+9d22d+26(3)首先考虑4阶范德蒙行列式:1X2X/(x)=1aa2a31bb2/1cc2c3(x-a)(x-h)(x 一 c)(a-h)(a 一 c)(h-c)从上面的4阶范德蒙行列式知,多项式f(x)的片的系数为1 a a1ah+ac)(a 一 b)(a-c)(b-c)=(ah+be+ac)1 h h21 c c2但 对(*)式右端行列式按第一行展开知彳的系数为两者应相等,故1 a2 a3(-1),+,I b2 h 1 c2 c,3(4)对仄按第一行展开,得ab 00 abd0ad-D -b c-=(ad-bcDM,据此递推下去,可得。
7、2“=(ad-be)%,-)=(ad-be)2 D2(n_2)=(ad-bc)z D?=(ad-bc)n(ad-be)=(ad-he)1 1D2 n=(ad-bcY.(5)对行列式的阶数用数学归纳法.当 个2时,可直接验算结论成立,假定对这样的41阶行列式结论成立,进而证明阶数为时结论也成立.按的最后一列,把拆成两个刀阶行列式相加:D =l+o,1 1 11 l+a2 1 1+1 +4 111 +。2 1 100 1 1 1 111 1+an-l011 14但由归纳假设/.一1 1、2一1=aa2 an-i+z m从而有/、D”=ala2-an_i+anala2-an_l 1 +Z:I-=i
8、ai Jaa2,an-an i=l ai/8.计算下列阶行列式.x 1 11 x 1D-”:1 1 X【解】(1)各行都加到第一行,Xy0 000Xy .00 D,=000 Xyy00 0X再从第一行提出X+(/71),得2 2 22 2 2 2D=2 2 3 22 2 2 2 1 0 001 2 1 000 1 2 00D,=0 0 0 210 0 0 12将第一行乘Dn=x +(-l)1)后分别加到其余各行,得111X11x2=x+(-1)101x 1=(X +H 1)(%I)1o0X-11120D“二20002002 2000n-2按第二行展开一22 2 -201 0 -002 -000
9、0-n 2=-2(/i-2)!.4 f11 0000(3)行列式按第一列展开后,得Xy0 -00y00 000Xy-00Xy0 -00D”=x:+y(-i 严0Xy -00()0o-Xy*y0o-0X000 Xy=尤+(_ 严 广(4)D.2 1 0 0 02 0 0 0 00 1 0 0 01 2 1 0 01 2 1 0 01 2 1 0 00 1 2 0 00 1 2 0 00 1 2 0 0=+0 0 0 2 10 0 0 2 10 0 0 2 10 0 0 1 20 0 0 1 20 0 0 1 2-2 0”-l。,-2-即有D“一。,1=B i -Dn_2=-=D2-Dt=1由 (
10、2 一?1)+(%一2.2)+.一 +(2-2)=1 得D”2=YI 1,D =-1 +2 =+1.9.计算阶行列式.【解】各列都加到第一列,再从第一列提出i+z%,得131+4将第一行乘(1)后加到其余各行,得1 a2 40 1 00 1 1=1).00=1 +Z%1=10 0 0 11 0.计算阶行列式(其 中%w0,/=1,2,,).一 1【解】行列式的各列提取因子an-j=1,2,,然后应用范德蒙行列式.14q1b.1b3a1hDn=(aia2-anr1a2绚2 2 32an rt-1(b.X H-Ia3 JX/J-1an)a J(%2 a )“”a2 J一、4 a J1 1.已知4阶
11、行列式中第3列元素依次为-1,2,求行列式的值。0,1,它们的余子式依次为8,7,2,1 0,解:D=a2%a2。2232为2-1201“14a24。3444,%=8,此3=7,3 3=2,“4 3=1 04n&%274O =Z(-1 产ai3Mi3i=(-1产 3 M 3+(_ 1产%3 M 23+(_ 1产 的3 M 33+(一1 严%3 M 43=(-1)4 (-1)-8 +(-1)5 2 -7+(-1)6 0 2 +(-1)7 1 -1 0=8 1 4 1 0 =3 2.1 2.用克拉默法则解方程组.4 X 1 +5X2=0,3再-7X2=2.(2)X1 -x2+x3=2,x1+2X2
12、=1,x1 x3=4.x1+x2+x3=5,x,+2X2-x3+x4=2,x2+2X3+3X4=3.5x,+6X2=1,再 4-5X2+6X3=0,%+5x3+6%=0 ,x3+5X4+6X5=0,x4+5x5=1.解4A3所以 =方1043D43x,-x2+x3=2(2)因为=2,3-1 0 11-1=-5-2方程组的系数行列式为1 21121-1-1仄=110二0-1-12-2=41 4-102-21-121-12D尸121=03-1=7104012所以玉=4 =D13T%2=aD=-4了x-三-X 3-D-_7-511101110-1-31-1-3121-110-1-31D=12-11=
13、01-21=1-21=0-52=18/0;1230-14012301235 11 12 23 11 12 11 20 11 01 5 15 00 3 201=3 6;133 301 11 -12 -11 251=-1 8.23故原方程组有惟一解,为O (4)D =6 6 5,2 =1 5 0 7,2 =1 1 4 5,4 =70 3,&=3 95,2=2 1 2.1 5 0 7 2 2 9 3 7 79 2 1 2X,1 =-6-6-5-,一 =-1-3-3-,3=-3-5-,%44 =-1-3-3-9 5=-6-6-5-.2%+AX2 无 3 =L1 3.4满足什么条件时,线性方程组彳2X1
14、-X2+X3=2,有唯一解?4 占 +5X2-5X3-32 A解:力:几 14 5-1 2 2c 3 2(l)1 =A,1-5 4 5Z 100:;=(f 馋+4)要使方程组有唯一解,必须。0,于是:(X 1)5/1 +4)#04解得:4KL Z 工4当;I 不等于1,一一时,方程组有唯一解。51 4.;1 和为何值时,齐次方程组+%+=0,%+jux2+x3=0,玉 +2/JX2+毛=0有非零解?解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式2 1 11 1 =0,1 2 1即(l-2)=0.故=0或/1 =1时,方程组有非零解.15.求三次多项式/(X)=劭+%工3,使得/(-1)=0 J=
15、4 ,/(2)=3 ,/(3)=1 6.【解】根据题意,得f(一 )=4 q +Q,%=0;/(I)=o +Q +%+3 =4;/(2)=旬+2 q +4生+8%=3;3)=。+3%+9。2 +2 7%=1 6.这是关于四个未知数0,4 1,。2,。3的一个线性方程组,由于D=4 8,D。=3 3 6,=0 4=-2 4 0,D.=96.故得 a。=7,=0,a2=5,%=2于是所求的多项式为/(X)=7-5X2+2X3(B类)1.已知刀阶行列式的每一列元素之和均为零,则D=解:令aa2,ayn+。2 1 +,+an4)+出2 +,,+an2,an+a2n+a2la22,-a2Wa2a22a2
16、ni=2,3,、”%an2.an2 a”.2.Da3 a45x 1 2 33.写出行列式a=x x 1 2的展开式中包含X,和 丁 的项。12x3x 1 2 2x5x 1 2 3Cl a2x x 1 2Cl 与解:令以=Z l Z Z12x3“3 1 032x 1 2 2x04 1 a42比较可得:只 有 当/人 力=1234时,才能出现/项,当/川3/4=2134,4 231时,为丁项,故2中含/项为:+10 x4含 了3 项为:(I)4 2 a21。33“4 4 +(-1)“%4。22“33。4 1 =一5x,。4.已知4阶行列式=1311235134624472,试求4 1+4 2+4
17、3+A4 4,其中4)/(/=1,2,3,4)为行列式”的第4行第/列的元素的代数余子式。13解:因为=112 3 43 4 45 6 71 2 213所以4 4 1+4 4 2+4 4 3+4 4=12 3 4 13 4 4 币+1(-川 35 6 7 i=2,3.4 11 1 1 11 2 31 严。2153161 2r4+l(T)J=(-1)5 0 10-331 =(-D5(-l)1+1:=(6 (3)=3 3-01 1 11 a a25.解 方 程1 a j a214an=0 x ay1解:因 分:1X故 由 Z 0 可得:6.求出使一平面上三个点(王,%),(2,为),(工 3,为)
18、位于同一直线上的充分必要条件【解】设平面上的直线方程为ax+b y+c=O(当。不同时为 0)按题设有axx+如 +c=0,ax2+b y2 4-c=0,ax3+奶 +c=0,则 以a,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为玉弘 1/%1=0工3 为 1上式即为三点(X 1,y1),(x2,%),(%3,%)位于同一直线上的充分必要条件习题二(A 类)12 121.1.设 於 2 1 2 112 3 44 3 2 1B=-2 1 -2 10-10-1(1 )计 算3/-3 2 4+3及(2)若 才 满 足 不8求了(3)若,满 足(2 4-/)+2 (B-Y)=0,求 Y.3
19、63 643213 1 5解:(1)3A B-2-22A+33=2 44 268912 9-601 2-6-11 4-21 31 3-263 63118 2 8 23 3003 792 4638 74 233552 4021 65(2 )因4+48则X=B-A,即43211 2X=112 10-1 01 212 13 42101-1-4 0(3)因 为(2 A-H+2 (B-H所 以3片2 4+2 5,即2?Y=-(4+B)=-(3343211 2 1 2-21-21+2 1 2 1001 2 3 4)=t05152130332310To2310T432320224322.计算下列矩阵的乘积.
20、(1)=I-1233 2-1 0;(21 2 1 0-1 0 3 1 0 1 0 10 1 2-1(6)0 0 2 10 0-2 30 0 0 30 0 0-33 2-1 0-3-2 1 06 4-2 09 6-3 05(2)-3-1(3)(1 0);3 3(4)+a22x l+(。1 2 +2 1)X/2 +313+/1)玉1 3 +(。2 3 +3 2)%2 1 3 =立限内/=!j=一n 2 5 2 1a ana2+0 1 30 12-4(5)a2 a22。2 2 +a23;(6)0 0-43_ _a3。3 23 2 +。3 3 _0 0 0-9-1 1 f1 213.设4=-1 1 1
21、,B=1 3-11 -1 12 14求(1)A 5-2 4;(2)AB-BA,(3)(A +3)(4 3)=A 2 一3?吗?(3)由于AB丰BA,故(A+B)(A r/反-24 2-44o-【解】AB-2A=4 00;(2)AB-B A =5-3-1024 _-31-14.举例说明下列命题是错误的.若 人2=0,则4=0;若A*=A ,则 A=0 或 4=E;若AX=A y,A/。,则 丫=丫.【解】0 0(1)以三阶矩阵为例,取A=0 00 010,*=0,但 4 r00令A令A=则AX=AY,但X*Y.5.计算:-30 1 0(1)0 0 10 0 0cos。(2)sin。sin 0co
22、s。(为正整数);1 0(3)(左为正整数).A 1解:(1)-1 3 r*1 0 0 10 1=0o-To i1 0 0o-!To 1 o1 0 0 1oj|_0 0 00 0 1 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00000 0 0000 0 00 0 0=0 0 0=QX3 0 0 0(2)cos。-sin。sin。cos。(左为正整数),cos。sin。cos。Di-sin6 cos。1-sin。sin。cos(9cos 2。-2 sin cos2sin6cos。cos 26令产则 当42时,cos 2(9 sin 10-sin 2 cos 2。设 DFcos md
23、sin mO-sin/。cos m3成立,则Dscos mO sin mOcos。sin。-smmO cos mO-sin。cos 6cos m0 cos 0-sin mOsm 0 sin 0 cos mO+cos 9 sin mO-sin mO cos 0-cos mO sin 8 cos mO cos 0-sin m0 sin 0COS(7M+1)6 sin(m+l)6?一sin(/”+l)e cos(a+l)e故有:A=cos 6sin。coskd sinkd(3)令例=-sin。cos。-sin cos%。(左为正整数),1021则当Q 2时,有:0001114=211221m假 设D
24、肝11100成立,则201mA1011Ai=mA,A1(m+l)20故有I010A1kA1abdb6.设 4=-a-cda b,求I A I.ba解:由已知条件,A的伴随矩阵为abcdA*=-(a2+b2+c2+d2)-a-c-c-b=-(a2+b2+c2+d2)Abda-d-c b a又因为A*A=|A|E,所以有-(a2+b2+c2+d2)A2=A E ,且 同 0,即-(a2+h2+c2+d2)A2 =(/+b2+c2+J2)4|A|A|=|A|4|E|于是有 同=-(标 +0 2 +.2)4 =_/2 +/+7.已知线性变换芯=2%+%,弘=-3%+马,无2 =_ 2)|+3力+2%,
25、%=2 Z|+Z 3,3 =4/+%+5%=-2 2 +3 0,利用矩阵乘法求从Z,%2,0到X,的 线 性 变 换.【解】已知X=丁 一X2/3_=-2-241310 25 J%儿=4丫,一 切 一-31 0-JY=%=201=Bz,儿0-1 3 _,3 一-421 -X=AY=1Bz1 249&-1 0-1 1 6从而由4,?2,7 3至:玉,,3的线性变换为石=-4芍 +2Z2+Z3,-x2=1 2 zf-4Z2+9Z3,x3-1 0 Z|-z2+16Z3.8.设A,8为”阶方阵,且A为对称阵,证明:BAB也是对称阵.【证明】因为阶方阵/为对称阵,即/=4所以(B A B)=B /斤B
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