北京邮电大学出版社线性代数习题答案(习题16).docx
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1、线性代数习题及答案(北京邮电大学出版社戴斌祥主)编习题(A类) 987654321; 13” (2-1) (2/(26 2)2L求下列各排列的逆序数. 0) 341782659 (3) 0 D321;【解】1)= (H-142 H“卜 1)必_(1) t (341782659)=11; r (987654321)=36(3) r 1) 3- 2-2 t (13- (2a 1) (2/(2m2A-2)=(H4+“ + 31)+gD + O2)+lH)=nD. 2求出j, k使9级排列24jl57k98为偶排列。解:由排列为9级排列,所以j, k只能为3 6由2排首位,逆序为Q 4的逆序数为01的
2、 逆序数为3 7的逆序数为a 9的为a 8的为l由(W+哥什if 为偶数.若j=a仁6则j 的逆序为 5的逆序数为Q k的为1,符合题意:若kS则j的逆序为Q 5的逆序数 为L k的为4不符合题意.所以j鼻63写出4阶行列式中含有因子a22a34的项。解:27=(-1 严。0 j2a3j3a4 4由题意有:j2 = 2,=4._1243故J1J2J3J4 =厶24=卜即中含的 a22a34 项为:(22a34a43 + (-3a22a34a41即为!一34a43 + 473a22a34a414在6阶行列式中,下列各项应带什么符号?(1) a23031a42a56014a65 ;解:a23a31
3、a42a56al4a65 = a14a23。31042。56。65因为 7(431265) = 6 , (1-431265)=(_ 1)6 =1 所以该项带正号。(2) a32a43al4a51a66a25解:。32。43al4“51。66。25 =25a32a43a51a66因为以452316) = 8, (W452316)=(一)8 =1所以该项带正号。0 2 0 012 3 00 0 100 0 2 0(1); 3 0 0 03 0 4 50 0 0 40 0 0 15用定义计算下列各行列式.010 0002 .0(3)()00 n-ln00 - 0【解】Q)身1)却4! =54 身 1
4、2(3)由题意知:=1%,1 = 其余% =0所以=(-l)TJlJ2 J,,) aija2j2aijjanjn=(T)但12a23a34 a“T,”a”i= (-1)-1-2-3(n-l)n r(23 1) = 1=(1严”!6计算下列各行列式.2 14-15 0 6 -2ah ac -ae川 cd -de-bf -cf -ef-1b0-1-1d【解】Q)D-12-12=0 :-1-1(2)D =abcdef-1-11-1(3)D = a-10-14ahcdef ;-1+ (-1)2 0 00-1-1d1 -10 d+ cd + =abed + ab + ad + cd + V,101010
5、q+C2(4)。=q+ o+q1010“ r4-r1-2-3-2r4+r21-410-1-1-1-344=160.7.证明下列各式.a2aba)2a1b22b1=(a bp ;a2 b2 c2 d2(a +1) 3 + 1)2 (C + (d + l)2(a+ 2)(b + 2)(c + 2)2(d + 2)2(a+ 3)2 S + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)2=0 :(3)a2 b2 c2=(ab + be + ca)(4)D2n(ad be);【证明】a)。宀 左端=CZ (a+b)(a-b)2(a-b)0!Pi=ll + a“b(a-b)a - b0b22b1(ci + b
6、)(ci b) b(ci b)2(a-b)= (a-b)2a+b2(a-b)3 右端.c2-c左端=2a+ 14a+ 46。+ 9a22a+ 1262b + 4+ 46b+ 9C322b22b + 262c + l4c+ 46c+ 9q -3c2c22c + l262J + 14d+46d+ 9d22d + l26=0 =右端.a2 b2 c2 d2首先考虑4阶范德蒙行列式:“尤)=1111 a2 b2 czjc3ab3= (x-a)(x- b)(x - c)(a -b)(a - c)(b -c)(*)从上面的4阶范徳蒙行列式知,多项式的承系数为(ah + be + ac)(a h)(a c)
7、(b c) = (ah + be + ac)a2b2c但对(阳式右端行列式按第一行展开知X的系数为两者应相等,故a2 b2 c2a c3对按第一行展开,得0 aba b-bc d0 cdc 00-)。2(-,id bc) D2(n_2y1 + q1 1ID“ =1+ *, 1i+11 - 11a2-an_x+anDn_v1 + 21 1011 +% , 1011 -, 1 +011 - 1凡cd000d=ad-与1)反、 %“-i)= (ad 据此递推下去,可得。2. =(。尻、)2(“-1)=(, = = (ad be) D, =(ad be)D2n = (ad bc)n.对行列式的阶数“用
8、数学归纳法.当我时,可直接验算结论成立,假定对这样的al阶行列式结论成立,进而证明阶数 为的结论也成立.按的最后一列,把拆成两个瑯介行列式相加:但由归纳假设0“ =a2-an,i+。M21= ala2-an_ian1+卜(1+加%&计算下列域介行列式.X1 11X - 1(1) Dn =1I - X122 .- 2222 - 2D.二223 - 2222 nx y 0 00 x y 0 0) =0 0 0 x yy 0 0 0 x210 00121 .- 00012 - 00q =000 - 2I000 . 12【解】各行都加到第一行,再从第一行提出 肝但U),得1 1 11 x * * 1=
9、x + (T):11X将第一行乘(-1)后分别加到其余各行,得D =x + (n-l)1x-1=(X + H 1)(X 1)Z,12-nD 二可1111200020102 0022000按第:往展开=2( 2)!.n-2(3)行列式按第一列展开后,得Oxy+y(-Dn+,D =x2 1 0 0 02 0 0 0 00 1 0 . 0 01 2 1 0 01 2 1 0 01 2 1 . 0 00 1 2 0 00 1 2 0 00 1 20 0。,=+0 0 0 2 10 0 0 2 10 0 0 2 10 0 0 1 20 0 0 . 1 20 0 0 . 1 2=2。_ 。-2 -Dn-D
10、n-=Dn-Dn-2由(。,。,-1) + (。1 一“-2)+ (02 )=1 得D“ D、=n l, Dn = n l + 2 = n + l.a计算建介行列式.q i+【解】各列都加到第一列,再从第一列提出1 + ,得1将第一行乘(-D后加到其余各行,得(I1+%。,1+%,a3 01n=i+Z%i=I1Q计算阶行列式(其中qwO,i = 1,2,).紈a2a如 以他anD,.=a/2哂2b;-1婷【解】行列式的各列提取因子T( = 1,2,然后应用范德蒙行列式.2=(的2%严n1=(%生 。”产 n1 jin I ai121厶a、 1.%a“I円2u3/ / A3 nl2 図a2 )A
11、(凡丿1厶)n-1z ,、 1. I、。2丿丿m丿b.j_a.L它们的余子式依次为8 7 2 1。1L已知4阶行列式/中第3列元素依次为T 2 &求行列式用J值。a解:%1a21。1422224。320。34。421。44幀3=8, M?3=7, %3=2, M43=10Q = Z(-1)%3 M3 j=l=(-1 产 q3M +(T)2+3%3 +(T 产63M33 +(_产 3M= (-1)4-(-1)-8 + (-1)5-2-7 + (-1)6O-2 + (-1)711O= -8-14-10 = -32.12用克拉默法则解方程组.+ 5x2 = 0,3xj - 7=2.王一+七=2,(2
12、) 3 = 703, D4 = -395, D5 = 212.15072293779212 V- V* V V* V*665 2133 3 35 4133 5 6652X1 + Ax2 x3 = 1,13满足什么条件时,线性方程组 玉-2+=2,有唯一解?4x)+5 5=32 解:42=44-100 1 $ =( 1(5+ 4)要使方程组有唯一解,必须庠,于是:(1)-(5 + 4)。 解得:,-当不等于L 一时,方程组有唯一解。514和为何值时、 齐次方程组 +x2+x3 = 0, %, + jUx2 + x3 = 0, 玉 + 2/jx2 + /= 有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解
13、只需其系数行列式111 1=0,1 2 !故/= 0或/1 = 1时,方程组有非零解.15求三次多项式,(x) = %)+“卢+,使得/(-I) = 0 J=4 J(2) = 3,/(3) = 16.【解】根据题意,得f (一 ) = % Q + Q, % =0;/(1) = 十%+3 =4;/= + 2q + 44 + 8% = 3;/(3) = 0 +3q +9 +27% = 16.这是关于四个未知数,q,小的个线性方程组,由于D = 48, Do = 336, D, =0,D2 = -240,03 = 96.故得4=7,0 = 0, a2 = -5,a3 = 2于是所求的多项式为/(x)
14、 = 7-5x2 + 2x3(曜)解:令 身L已知理介行列式的每一列元素之和均为零,则改a2 +Ct22 +- + a2% +。2 +, + 4a22a2nan2,“00 03232x的展开式中包含、和的项。5x 1X X3写出行列式麻1 2x 1,试求1+2 +3+,其中( = 1,2,3,4)为。14“江(-1严的”心22。3血4。34 j234444比较可得:只有当/=1234时,才能出现项,当,=2134,4231时,为项,故。4中含项为:+1含项为:(1)42。21。33。44 +(1 尸 4。14”22a33a41 = -5。134已知4阶行列式行列式的第4行第列的元素的代数余子式
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- 北京邮电 大学出版社 线性代数 习题 答案 16
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