高三数学一轮复习学案第三章三角函数解三角形(32解三角形).pdf
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1、2011 版高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数、解三角形 32 解三角形【高考目标定位】一、正弦定理和余弦定理 1、考纲点击 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题;2、热点提示(1)利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决问题;(2)与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时,考查三角恒等变换,这是高考的热点;(3)三种题型均有可能出现,属中低档题目。二、应用举例 1、考纲点击 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2、热点提示(1)本节内容与实际生活紧密相连,是高考命题的热点,应高度重视;(2)
2、主要考查正、余弦定理及分析问题、解决问题的能力;(3)三种题型均有可能出现,属中、低档题目。【考纲知识梳理】一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2sinsinsinabcRABC 2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbcaacBcababC 变 形形式 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;a:b:c=sinA:sinB:sinC;sinsinsinsinabcaABCA 222222222cos;2cos;2cos.2bcaAbcacbBcaabcCab
3、解 决的 问题 已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角。已知三边,求各角;已知两角和它们的夹角,求第三边和其他两个角。注:在 ABC中,sinAsinB是AB的 充 要 条 件。(sinAsinB22abRRabAB)二、应用举例 1、实际问题中的常用角(1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下文的叫俯角(如图)(2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为(如图)注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的。(3)
4、方向角:相对于某一正方向的水平角(如图)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向;北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向;南偏本等其他方向角类似。(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角为坡角)坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i为坡比)2、ABC 的面积公式(1)1()2aaSa h ha表示 边上的高;(2)111sinsinsin()2224abcSabCacBbcARR为外接圆半径;(3)1()()2Sr abc r为内切圆半径。【热点难点精析】一、正弦定理和余弦定理(一)正弦定理、余弦定理的简单应用 相关链接 1、已知两边和一边的对角解三角形时,可有两解、一解、
5、无解三种情况,应根据已知条件判断解的情况,主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断;2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷;3、三角形中常见的结论(1)A+B+C=;(2)在三角形中大边对大角,反之亦然;(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;(4)三角形内的诱导公式 sin()sin;cos()cos;tan()tan;sincos;cossin.2222ABCABCABCABCABC (5)在ABC 中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.例题解析 例 1 在ABC 中,(1)若 b=2
6、,c=1,B=450o,求 a 及 C 的值;(2)若 A=600,a=7,b=5,求边 C。思路解析:(1)可直接使用正弦定理求解,注意解的个数的判断,也可利用余弦定理求解;(2)题目条件是已知两边及一边的对角,这种情况一般用正弦定理理解,但本题不求 B,并且求出 sinB 后发现 B 非特殊角,故用正弦定理不是最佳选择,而应直接用余弦定理列出关于 c 的方程求解。解答:(1)方法一:由由正弦定理得21sin45sinC,所以 sinC=12.因为 cb,所以Ccb,A为 最 大 角。由 余 弦 定 理 得:2222223571cos22 3 52bcaAbc 。又30180,120,sin
7、sin1202AAA。方法一:由正弦定理得sinsinacAC,35sin5 32sin714cACa,因此最大角 A 为120,sinC 5 314。方法二:22222273511cos22 7 314abcCab。C 为三角形的内角,C 为锐角。sinC=22115 31 cos1()1414C,所以最大角为120,sinC=5 314。(二)三角形形状的判定 相关链接 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函
8、数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=这个结论。注:在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解。例题解析 例在ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果2222()sin()()sin()abABabAB,判断三角形的形状 思路解析:分别以a2和b2为同类项整理已知条件展开sin()AB和sin()AB转化为边或角关系求解得三角形形状。解答:方法一:222222sin()sin()sin()sin(),2cossin2cos sin.sincossinsincossin,
9、sinsin(sincossincos)0sin2sin2,0,2222aABABbABABaABbbAAABBBAABAABBABABABABABC由已知得由正弦定理,得由得或,即是等腰三角形或直角三角形方法二:同方法一可得222cossin2cossinaABbbA,由正、余弦定理,即得 222222222222222222222222,()(),22()()0bcaacba bb aa bcabacbbcacabcababcabABC即或,故为等腰三角形或直角三角形。(三)正、余弦定理在几何中的应用 相关链接 正、余弦定理在几何中的应用(1)首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形;
10、(2)其次确定与未知量相关联的量;(3)最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。例题解析 例 1如图所示,在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=5,AC=9,BCA=300,ADB=450,求 BD 的长。思路解析:由于 AB=5,ADB=450,因此要求 BD,可在ABD 中,由正弦定理求解,关键是确定BAD 的正弦值。在ABC 中,AB=5,AC=9,ACB=300,因此可用正弦定理求出sinABC,再依据ABC 与BAD 互补确定 sinBAD 即可。解 答:在 ABC中,AB=5,AC=9,BCA=300,由 正 弦 定 理,得0sin9sin309,sinsinsin5
11、109/,180,sinsin1099 2,45,1029 2BD2oABACACBCAABCBCAABCABADBCBADABCBADABCABDBADADBBD于是。同理,在中,AB=5,sin解得故的长为 例 2如图,在四边形 ABCD 中,已知 ADCD,AD=10,AB=14,BDA=600,BCD=1350,求 BD 及 BC 的长。解答:在BAD 中,由余弦定理,得222BABDAD2BD ADcosBDA,222021200BD,14102 10cos60,10960,16,16()BD16.BDCBCBD16,BCsin308 2,BD16,8 2sinsinsin135xx
12、xxxxxBCCDBBCD 设则所以所以舍去,所以在中,由正弦定理,得所以所以 注:(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理运用,有时还需要交替使用;(2)条件中如果出现平方关系多考虑余弦定理,出现一次式,一般要考虑正弦定理;(3)在三角形中求角,往往选择先求该角的余弦值,然后利用余弦函数在(0,)上的单调性求角;(4)正、余弦定理能实现边角转化,在解题时一定要重视。二、应用举例(一)与距离有关的问题 相关链接 1、一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的
13、数学模型;(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解。2、解斜三角形应用题常有以下几种情形:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形,这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解;(3)实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。例题解析 例 1某观测站 C 在 A 城的南偏西 200的方向。由 A 城出发的一条公路,走向是南偏
14、东 400,在 C 处测得公路上 B 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问这人还要走多少千米才能到达 A 城?思路解析:本题为解斜三角形的应用问题,人要走多少路可到达 A 城,即求 AD 的长,在ADC 中,已知 CD=21 千米,CAD=600,只需再求出一个量即可。解 答:设 ACD=,CDB=。在 BCD中,由 余 弦 定 理 得2222222021314 3cos,22202177BDCDCBBD CD 则sin 000004 31315 3sinsin(60)sincos60cossin60,72
15、27145 32121AD21sin14ACDAD15sin60sinsin6032A而在中,由正弦定理得,(千米)答:这个人再走15 千米才能到达 城。例 2如图,公路 MN 和 PQ 在 P 处交汇,且QPN=300,在 A 处有一所中学,AP=160 米,假设拖拉机行驶时,周围 100 米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受影响?请说明理由。如果受影响,已知拖拉机的速度为 18 千米/小时,那么学校受影响的时间为多少?解答:作 ABMN,B 为垂足,在 RtABP 中,ABP=900,APB=300,AP=160,AB=AP802。点 A 到
16、直线 MN 的距离小于 100 米,所以这所中学会受到噪声的影响。如图所示,若以 A 为圆心,100 米为半径画圆,那么圆 A 和直线 MN 有两个交点,设交点分别为 C、D,连接 AC 和 AD,则 AC=AD=100 米,根据勾股定理和垂径定理得:CB=DB=221008060米,CD=120 米,学校受噪声影响的时间为 t=120180003600=24秒(二)与高度有关的问题 相关链接 1、在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角;2、准确理解题意,分清已知与所求,画出示意图;3、运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,
17、注意方程思想的运用。例题解析 例 1某人在塔的正东沿着南偏本 600的方向前进 40 米后望见在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为 300,求塔高。思路解析:依题意画图,某人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前进,CD=40 米,此时DBF=450,从 C 到 D 沿途测塔的仰角,只有 B 到测试点的距离最短,仰角才最大,这是因为 tanAEB=ABBE,AB 为定值,BE 最小时,仰角最大。要求出塔高 AB,必须先求 BE,而要求 BE,需先求 BD(或 BC)解答:如图,某人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前进,CD=40,此时DBF=450,过点 B作 BECD 于 E,则A
18、EB=300,在BCD 中,CD=40,BCD=300,DBC=1350,由正弦定理,得sinsinCDBDDBCBCD,BD=40sin3020 2sin135。BDE=1800-1350-300=150。在 RtBED 中,BE=Dbsin150=202624=1031.在 RtABE 中,AEB=300,AB=Betan300=10(33)3(米)故所求的塔高为10(33)3米。例 2 某人在山顶观察地面上相距 2500m 的 A、B 两个目标,测得 A 在南偏本 570,俯角为 300,同时测得 B 在南偏东 780,俯角是 450,求山高(设 A、B 与山底在同一平面上,计算结果精确
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- 数学 一轮 复习 第三 三角函数 三角形 32
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