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1、式中,Hg()称为幅度特性,()称为相位特性。注意,这里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()为的实函数,可能取负值,而|H(ej)|总是正值。H(ej)线性相位是指()是的线性函数,即()=,为常数(7.1.3)如果()满足下式:()=0-,0是起始相位(7.1.4)严格地说,此时()不具有线性相位,但以上两种情况都满足群时延是一个常数,即第1页/共81页也称这种情况为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位;满足(7.1.4)式为第二类线性相位。下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是:h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称,即h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)满足第二
2、类线性相位的条件是:h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称,即h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)第2页/共81页(1)第一类线性相位条件证明:将(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,则有(7.1.7)第3页/共81页按照上式可以将H(z)表示为 将z=e j代入上式,得到:按照(7.1.2)式,幅度函数Hg()和相位函数分别为(7.1.8)(7.1.9)第4页/共81页(2)第二类线性相位条件证明:(7.1.10)令m=N-n-1,则有 同样可以表示为第5页/共81页因此,幅度函数和相位函数分别为(7.1.11)(7.1.12)第6页/共81页第7页/共81页第8页/共81页2
3、.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(7.1.8)式,幅度函数Hg()为 式中,h(n)对(N-1)/2偶对称,余弦项也对(N-1)/2偶对称,可以以(N-1)/2为中心,把两两相等的项进行合并,由于N是奇数,故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为第9页/共81页令m=(N-1)/2-n,则有(7.1.13)(7.1.14)式中 第10页/共81页按照(7.1.13)式,由于式中cosn项对=0,2皆为偶对称,因此幅度特性的特点是对=0,2是偶对称的。2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数推导情况和前面N=奇数相似,不同点是由于
4、N=偶数,Hg()中没有单独项,相等的项合并成N/2项。第11页/共81页3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数将(7.1.11)式重写如下:令m=N/2-n,则有(7.1.15)(7.1.16)第12页/共81页4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况,推导如下:令m=(N-1)/2-n,则有(7.1.17)(7.1.18)令m=N/2-n,则有第13页/共81页(7.1.19)(7.1.20)第14页/共81页3.线性相位FIR滤波器零点分布特点第 一 类 和 第 二 类 线 性 相 位 的 系 统 函 数 分 别 满 足(7.1.7)式 和(7.1.10)式,综合起
5、来用下式表示:(7.1.21)图7.1.1 线性相位FIR滤波器零点分布 第15页/共81页4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数,则有令m=N-n-1,则有第16页/共81页(7.1.22)如果N为奇数,则将中间项h(N-1)/2单独列出,(7.1.23)第17页/共81页图7.1.2 第一类线性相位网络结构第18页/共81页图7.1.3 第二类线性相位网络结构第19页/共81页7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应,因此第20页/共81页相应的单位取样响应h-d(n)为(7.2.1)(7.2.2)为了构造一个长
6、度为N的线性相位滤波器,只有将h-d(n)截取一段,并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示,即 h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)第21页/共81页我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N,其系统函数为H(z),图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第22页/共81页以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外,我们知道Hd(ej)是一个以2为周期的函数,可以展为傅氏级数,即对(7.2.3)式进行傅里叶变换,根据复卷积定理,得到:(7.2.4)式中,Hd(e j)和RN(e j)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换,即(7.2.5)
7、第23页/共81页RN()称为矩形窗的幅度函数;将Ha(ej)写成下式:按照(7.2.1)式,理想低通滤波器的幅度特性Hd()为将Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式,得到:第24页/共81页将H(ej)写成下式:(7.2.6)第25页/共81页 图7.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响 第26页/共81页通过以上分析可知,对hd(n)加矩形窗处理后,H()和原理想低通Hd()差别有以下两点:(1)在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度,近似等于RN()主瓣宽度,即4/N。(2)通带内增加了波动,最大的峰值在c-2/N处。阻带内产生了余振,最大的负峰在c+2/N
8、处。在主瓣附近,按照(7.2.5)式,RN()可近似为第27页/共81页下面介绍几种常用的窗函数。设h(n)=hd(n)w(n)式中w(n)表示窗函数。1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)前面已分析过,按照(7.2.5)式,其频率响应为第28页/共81页2.三角形窗(BartlettWindow)(7.2.8)其频率响应为(7.2.9)第29页/共81页3.汉宁(Hanning)窗升余弦窗当N1时,N-1N,第30页/共81页图7.2.3 汉宁窗的幅度特性第31页/共81页4.哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗(7.2.11)其频域函数WHm(e j)为其幅度
9、函数WHm()为当N1时,可近似表示为第32页/共81页5.布莱克曼(Blackman)窗(7.2.13)其频域函数为其幅度函数为(7.2.14)第33页/共81页图7.2.4 常用的窗函数第34页/共81页 图7.2.5 常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗;(b)巴特利特窗(三角形窗);(c)汉宁窗;(d)哈明窗;(e)布莱克曼窗 第35页/共81页 图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5)(a)矩形窗;(b)巴特利特窗(三角形窗);(c)汉宁窗;(d)哈明窗;(e)布莱克曼窗第36页/共81页6.凯塞贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow)式中 I0(x)是零阶
10、第一类修正贝塞尔函数,可用下面级数计算:第37页/共81页一般I0(x)取1525项,便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大,主瓣加宽,旁瓣幅度减小,典型数据为4,如有,再在该点附近找出局部极值点,并用该点代替原来的点。(3)利用和第二步相同的方法,把各频率处使|E()|的点作为新的局部极值点,从而又得到一组新的交错点组。第69页/共81页图7.4.2 雷米兹算法流程图第70页/共81页3.线性相位FIR滤波器的四种类型统一表示式在7.1节,我们已推导出线性相位的四种情况,它们的幅度特性H-g()分别如下式:奇数 奇数 偶数 偶数 第71页/共81页经过推导可把H-g()统一表示为
11、Hg()=Q()P()(7.4.13)式中,P()是系数不同的余弦组合式,Q()是不同的常数,四种情况的Q()和P()如表7.4.1所示。第72页/共81页表7.4.1 线性相位FIR滤波器四种情况 第73页/共81页表中、和与原系数b(n),c(n)和d(n)之间关系如下:(7.4.14)第74页/共81页(7.4.15)(7.4.16)第75页/共81页将(7.4.13)式代入(7.4.3)式,得到:(7.4.17)(7.4.18)第76页/共81页图7.4.3 利用切比雪夫逼近法设计线性相位 FIR滤波器程序框图第77页/共81页图7.4.4 利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性第78页/共81页7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 首先,从性能上来说,IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方,因此可用较低的阶数获得高的选择性,所用的存贮单元少,所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。第79页/共81页从结构上看,IIR滤波器必须采用递归结构,极点位置必须在单位圆内,否则系统将不稳定。从设计工具看,IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果,因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算,计算工作量比较小,对计算工具的要求不高。第80页/共81页感谢您的观看。第81页/共81页
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