2013中考数学精选例题解析:函数与一元二次方程.doc
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1、12 013 中考数学精选例题解析函数与一元二次方程知识考点:1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系;2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式,判定抛物线与x轴的交点情况;3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题:【例 1】已抛物线1)2() 1(2xmxmy(m为实数)。(1)m为何值时,抛物线与x轴有两个交点?(2)如果抛物线与x轴相交于 A、B 两点,与y轴交于点 C,且ABC 的面积为2,求该抛物线的解析式。分析:抛物线与x轴有两个交点,则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根,将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。略解:(1)由已知有 001
2、2mm,解得0m且1m(2)由0x得 C(0,1)又1mm aAB21121 21mmOCABSABC34m或54m132 312xxy或156 512xxy2【例 2】已知抛物线)6(2)8(222mxmxy。(1)求证:不论m为任何实数,抛物线与x轴有两个不同的交点,且这两个点都在x轴的正半轴上;(2)设抛物线与y轴交于点 A,与x轴交于 B、C 两点,当ABC 的面积为 48 平方单位时,求m的值。(3)在(2)的条件下,以 BC 为直径作M,问M 是否经过抛物线的顶点 P?解析:(1)0)4(22m,由082 21mxx,0)6(22 21mxx可得证。(2))6(8)8(4)(222
3、 212 2121mmxxxxxxBC42m)6(22mOA又48ABCS48)6(2)4(2122mm解得22m或122m(舍去)2m(3)16102xxy,顶点(5,9),6BC69 M 不经过抛物线的顶点 P。评注:二次函数与二次方程有着深刻的内在联系,因此,善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化,是解相关问题的常用技巧。探索与创新:3【问题】如图,抛物线4)(2 2cxbaxy,其中a、b、c分别是ABC 的A、B、C 的对边。(1)求证:该抛物线与x轴必有两个交点;(2)设有直线bcaxy与抛物线交于点 E、F,与y轴交于点 M,抛物线与y轴交于点 N,若抛物线的对称轴为 ax
4、 ,MNE 与MNF 的面积之比为 51,求证:ABC是等边三角形;(2)当3ABCS时,设抛物线与x轴交于点 P、Q,问是否存在过 P、Q 两点且与y轴相切的圆?若存在这样的圆,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由。解析:(1))()(22cbacbacba0cba,0cba0(2)由aba 2得ba 由 bcaxycxbaxy4)(2 2 得:0432 accaxx设 E(1x,1y),F(2x,2y),那么:axx321,accxx4221由MNESMNFS51 得:215xx 215xx 或215xx由021 xx知215xx应舍去。yx问题图 EQ FPMONyx问题图 EQ FPM
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