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1、1板块命题点专练(四)板块命题点专练(四)命题点一 导数的运算及几何意义命题指数:难度:中、低题型:选择题、填空题1.(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1 的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a_.解析:f(x)3ax21,f(1)3a1.又f(1)a2,切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7),7(a2)3a1,解得a1.答案:12(2016全国丙卷)已知f(x)为偶函数,当x0 时,f(x)ex1x,则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析:设x0,则x0,f(x)ex1x.f(x)为偶函数,f(x)f(x),f(x)ex1x.当x0 时,f
2、(x)ex11,f(1)e111112.曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程为y22(x1),即 2xy0.答案:2xy03(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1 相切,则a_.解析:法一:yxln x,y1 ,1 xyError!x12.曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1),即y2x1.y2x1 与曲线yax2(a2)x1 相切,a0(当a0 时曲线变为y2x1 与已知直线平行)由Error!消去y,得ax2ax20.由 a28a0,解得a8.法二:同法一得切线方程为y2x1.设y2x1 与曲线yax2(a2)x1 相
3、切于点(x0,ax(a2)2 02x01)y2ax(a2),yError!xx02ax0(a2)由Error!解得Error!答案:8命题点二 导数的应用命题指数:难度:高、中题型:选择题、填空题、解答题1.(2014全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1,)单调递增,则 k 的取值范围是( )A(,2 B(,1 C2,) D1,)解析:选 D 因为f(x)kxln x,所以f(x)k .因为f(x)在区间(1,)1 x上单调递增,所以当x1 时,f(x)k 0 恒成立,即 k 在区间(1,)上恒成1 x1 x立因为x1,所以 00时,xf(x)f(x)0 成立的x的取值范围是( )A(
4、,1)(0,1) B(1,0)(1,)C(,1)(1,0) D(0,1)(1,)3解析:选 A 设yg(x)(x0),fx x则g(x),xfxfx x2当x0 时,xf(x)f(x)0 时,由f(x)0,得g(x)0,由图知 00,得g(x)0 成立的x的取值范围是(,1)(0,1),故选 A.4(2015全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于 2a2 时,求a的取值范围解:(1)f(x)的定义域为(0,),f(x) a.1 x若a0,则f(x)0,所以f(x)在(0,)上单调递增若a0,则当x时,f(x)0;(0,1 a
5、)当x时,f(x)0 时,f(x)在x 处取得最大值,最大值为1 aflnaln aa1.(1 a)(1 a)(11 a)因此f2a2 等价于 ln aa11 时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1)5(2016全国甲卷)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4 时,求曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)若当x(1,)时,f(x)0,求a的取值范围解:(1)f(x)的定义域为(0,)当a4 时,f(x)(x1)ln x4(x1),f(1)0,f(x)ln x 3,f(1)2.1 x故曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程为 2xy20.(2)当x(1,)时
6、,f(x)0 等价于 ln x0.ax1 x1设g(x)ln x,ax1 x1则g(x) ,g(1)0.1 x2a x12x221ax1 xx12当a2,x(1,)时,x22(1a)x1x22x10,故g(x)0,g(x)在(1,)上单调递增,因此g(x)0;当a2 时,令g(x)0 得x1a1,x2a1.a121a121由x21 和x1x21 得x11,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)上单调递减,因此g(x)0.综上,a的取值范围是(,26(2016全国丙卷)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x(1,)时,1x;x1 ln x(3)设
7、c1,证明当x(0,1)时,1(c1)xcx.解:(1)由题设,f(x)的定义域为(0,),f(x) 1,令f(x)0,解得1 xx1.当 0x1 时,f(x)0,f(x)单调递增;当x1 时,f(x)0,f(x)单调递减(2)证明:由(1)知,f(x)在x1 处取得最大值,最大值为f(1)0.5所以当x1 时,ln xx1.故当x(1,)时,ln xx1,ln 1,1 x1 x即 1x.x1 ln x(3)证明:由题设c1,设g(x)1(c1)xcx,则g(x)c1cxln c.令g(x)0,解得x0.lnc1ln c ln c当xx0时,g(x)0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0
8、,g(x)单调递减由(2)知 1c,故 0x01.c1 ln c又g(0)g(1)0,故当 0x1 时,g(x)0.所以当x(0,1)时,1(c1)xcx.7(2016全国乙卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围解:(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)设a0,则当x(,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0.所以f(x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增设a0,由f(x)0 得x1 或xln(2a)若a ,则f(x)(x1)(exe),e 2所以f(x)在(,)上单调递增若a ,
9、则 ln(2a)1,e 2故当x(,ln(2a)(1,)时,f(x)0;当x(ln(2a),1)时,f(x)0.所以f(x)在(,ln(2a),(1,)上单调递增,在(ln(2a),1)上单调递减若a ,则 ln(2a)1,e 2故当x(,1)(ln(2a),)时,f(x)0;6当x(1,ln(2a)时,f(x)0.所以f(x)在(,1),(ln(2a),)上单调递增,在(1,ln(2a)上单调递减(2)设a0,则由(1)知,f(x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增又f(1)e,f(2)a,取b满足b0 且bln ,则f(b) (b2)a(b1)a 2a 22a0,所以f(x)有两个零点(b23 2b)设a0,则f(x)(x2)ex,所以f(x)只有一个零点设a0,若a ,则由(1)知,f(x)在(1,)上单调递增又当x1 时,f(x)e 20,故f(x)不存在两个零点;若a ,则由(1)知,f(x)在(1,ln(2a)上单调递减,e 2在(ln(2a),)上单调递增又当x1 时,f(x)0,故f(x)不存在两个零点综上,a 的取值范围为(0,)
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